深度学习中7种最优化算法的可视化与理解

高维优化算法的探索与分析

在深度学习领域，训练模型的优化过程常常在 数百万维的参数空间中进行。这一过程充满了挑战，不仅因为参数空间的巨大，还因为梯度的性质可能会使优化过程陷入局部最优、无法找寻全局最小值或卡顿在无梯度位置。本文旨在通过对一系列优化算法进行分析、比较，以期为解决深度学习优化问题提供更好地指导。

梯度下降法与改进方法

梯度下降法是最基本的优化策略，其核心思想是根据当前点的梯度方向反向调整参数，以减少目标函数的值。在实际应用中，通过调整学习率（ lr），我们可以控制算法的收敛速度和准确性。然而，设置不当的学习率可能导致算法过早停止（过小的lr）或发散（过大的lr）。




梯度下降+动量引入了一种动态存储历史梯度的方法，帮助算法在遇到平坦或复杂地形时保持一定的速度和方向，从而更有效地逃离局部最优状态。通过调整动量参数（m），可以控制算法的记忆程度和在全局最小值附近的振荡行为。

AdaGrad算法通过累加梯度的组件来自适应地调整学习率，在特征稀疏时能够提供有效的学习速率调整。然而，它容易在迭代前期过度减少学习率，从而影响后期的收敛速度。

RMSProp是对AdaGrad的改进版本，它引入了一种衰减机制来记录最近的梯度平方，从而更精准地控制学习率的减少速度，使其更适合非凸优化问题。

Adam算法集成了AdaGrad和RMSProp的优点，通过维护一阶矩和二阶矩来实现了对学习率的有效调整，特别是在处理非凸优化问题时，其自适应学习率调整特性表现尤其突出。调参过程中的关键是选择合适的衰减参数（p1, p2），它们直接影响求解的稳定性。

二阶优化方法：牛顿法与正则化牛顿法

牛顿法是一种基于二阶近似的优化算法。通过计算梯度和Hessian矩阵（H），牛顿法可以一步定位到局部最优状态。然而，它在非凸优化问题中的应用受到限制，特别是在遇到单调函数（悬崖、鞍点）或者Hessian矩阵不可正定的情况下。为此，将Hessian矩阵及其逆过程进行正则化（添加正则化参数alpha），可以解决Hessian矩阵可能的非正定性问题，从而增强算法在复杂几何结构下的优化能力。