基于Abaqus的Newton-Raphson算法

在解决复杂的工程结构非线性问题时，Abaqus/Standard采用的隐式分析方法通过将载荷划分为一系列增量步并在每个步骤中寻找近似平衡解来提供一种高效、可靠的解决方案。本文全面地分析了Abaqus内部的NewtonRaphson算法及其在数学问题中的非线性方程求解理论，结合具体实例与代码，直观地展示了算法的核心机制与应用过程。我们首先探讨NewtonRaphson算法的原理、步骤与应用，然后通过一个实例详细解释了算法在求解非线性方程时的策略与实现方法。

NewtonRaphson算法在Abaqus中的应用

在Abaqus隐式求解分析过程中，NewtonRaphson算法与增量迭代紧密结合，通过以下方式进行优化：


1. 迭代量与增量选择：用户可以指定初始增量步大小，而后续过程中，系统自动调整并选择更合适的增量，确保结构在每个结束的增量步接近平衡状态。这些计算结果以.odb文件形式保存。

2. 平衡迭代与收敛：在分析初次迭代过程时，基于结构的原始构形和刚度矩阵计算位移修正值。在后续迭代中，结构构形更新后，新的切线刚度和内部作用力计算随之开始，并将总载荷与内部作用力的差值作为残差力。对于线性问题，残差力在每个自由度上均为零，表示结构处于平衡状态。但对于非线性问题，Abaqus判断残差力与允许的残差目标（残差容限）的比较：若残差力小于此目标，则当前构型被认为是有效的平衡构型；同时检查位移修正值相对于总的增量位移是否足够小，两个条件均满足，则认为系统收敛。

NewtonRaphson算法的优点与修正方法


优点：


支持有限单元模型的实体化和壳体中的非线性问题。


效率相对于显式分析更高，尤其在大规模和复杂问题中。


提供了严格的稳定性保证，能够适应各种非线性动态问题。


修正方法：

在自己非线性有限元编程中，可以通过预计算切线刚度矩阵并在迭代过程中保持不变来减少计算量和不稳定风险。这种方法简称“预NewtonRaphson”方案，旨在降低多项式节之间的计算成本并增强计算精度。

实例详解：利用NewtonRaphson算法求解方程

考虑在结构分析中常见的求解函数零点的问题。应用NewtonRaphson算法求解在3.8附近的函数`exp(x) + x  5`的零点，我们采用MATLAB环境实现这一过程。

代码如下（MATLAB语法）：


```matlab


fun = @(x) exp(x) + x 5; % 定义函数

[x, fval, exitflag, iter, Xs] = newton(fun, 3.8, 1e6);

```

这段代码实现了一个简单的NewtonRaphson求根函数，参数包括函数对象、初值、允许的误差（最大迭代次数默认为500次）。输出包括零点、函数值与导数的匹配、迭代标志与迭代次数列表。

新兴算法与挑战

NewtonRaphson算法虽然高效，但计算量大、方法相对复杂是其发展过程中的主要挑战。为了提高算法在非线性有限元分析中的效率与实用性，相关的迭代算法与优化策略得到了广泛研究与应用，如近似Newton方法、预NewtonRaphson迭代、以及高级数值方法如拟牛顿法、高斯牛顿法等的结合，致力于在保证精度的前提下减少计算复杂度和提高收敛速度。