结构优化设计两大优化算法比较：OC vs MMA

拓扑优化设计中的确定性算法：OC方法与MMA方法的比较分析


引言

在结构拓扑优化设计技术的发展历程中，优化算法扮演着至关重要的角色。确定性的优化算法因其在连续性和收敛性上的特点，已成为 MySql 优化领域内的热点。优化准则法（OC：Optimality Criteria Method）和数学规划法（MP：Mathematical Programming）是此类算法中的典型代表。本文将聚焦于这两种方法——及其后重要的分支“移动渐进线方法”（MMA: Method of Moving Asymptotes）——进行详细的分析比较，旨在深入理解其特性、应用范围以及差异。




OC方法原理

OC方法以寻找最优解为目标，从设计空间中的初始点出发，每次迭代都基于特定的优化条件，迭代公式独立于目标函数与约束状态。其核心在于通过引入优化准则，如KuhnTucker条件（即驻值条件），来实现设计的迭代更新。这种方法通常涉及引入额外的辅助参数，如阻尼因子与移动极限常数，以确保迭代过程的稳定性与平稳性。迭代更新形式简化为：

[$x_{new} = \text{max}(integer \, threshold, \, \text{max}(x  move, \min(1., \, \min(x + move, \, x\sqrt{\frac{dc}{\lambda}})))$，

其中 $dc$ 表示设计变化的度量，$\lambda$ 则是控制因子或阻尼因子。

MMA算法的特性

MMA 方法是 MP 方法中的一个强有力分支，特别适合处理目标函数复杂、约束繁多的情况。它对设计变量的微分要求相对宽松，支持解析或数值方法求得，无论目标函数与约束函数的复杂度，均能有效应对。MMA 的关键在于引入移动渐进线的概念，将隐式优化问题转化为一系列显式、更为简单的严格凸的近似子优化问题，通过逐次求解子问题来推进设计迭代。这一过程不直接基于显式迭代格式，而更为灵活地迭代设计变量，使其在复杂拓扑优化中呈现出较高的适定性和高效性。MMA 优化模型包含了一系列未知参数与系数，比之 OC 方法，其数学表达式更为丰富与具体：
其中 $\mu$、函数 $f(x)$、设计变量 $x$ 、约束函数 $g(x)$ 分别有各自不同的定义，$\mu$ 通常表示约束的重要性系数，$m$ 是已知的非负常数，而 $t$ 是迭代步数。

实例比较分析

以悬臂梁的拓扑优化问题为例进行实例分析，对比 OC 和 MMA 方法的优化结果：

当采用对两种方法进行拓扑优化时，最终的优化设计结果在视觉上具有极高的相似度，得益于 XFEM 技术丰富了优化颗粒的形状细节和质量优势。

二维及三维水平集函数可视化展示了优化前后设计局部几何结构的变化，进一步阐述了这两种方法在搜索设计变量空间时的专业性能。

目标函数与体积函数的收敛曲线包括关键参数，可视化呈现了 OC 和 MMA 方法的迭代过程与性能特点。OC呈现出了较快的收敛速度（通常在10步左右完成），而 MMA 的迭代过程则相对缓慢。面对体积约束（如50%）的优化问题，OC 显示出了更好的适应性和迭代效率。